| 1. | Every subfield of a cyclotomic field is an abelian extension of the rationals.
Tout sous-corps d'un corps cyclotomique est une extension abélienne du corps des nombres rationnels. |
| 2. | The value of the Gauss sum is an algebraic integer in the pth cyclotomic field ℚ(ζp).
La valeur de la somme de Gauss est un entier algébrique dans la p-ième extension cyclotomique Q(ζp). |
| 3. | For a given abelian extension K of Q there is a minimal cyclotomic field that contains it.
Pour une extension abélienne donnée K de ℚ, il existe en fait un corps cyclotomique minimal qui la contient. |
| 4. | In mathematics, the Hilbert–Speiser theorem is a result on cyclotomic fields, characterising those with a normal integral basis.
En mathématiques, le théorème de Hilbert-Speiser est un résultat sur les sous-corps des corps cyclotomiques, caractérisant ceux qui possèdent une base normale d'entiers. |
| 5. | These characters and their associated L-functions are now understood to be strictly related to complex multiplication, as the Dirichlet characters are to cyclotomic fields.
Ces caractères et leurs fonctions L associées sont maintenant compris comme étant strictement reliés à la multiplication complexe, comme les caractères de Dirichlet le sont aux corps cyclotomiques. |
| 6. | Iwasawa is perhaps best known for introducing what is now called Iwasawa theory, which developed from researches on cyclotomic fields from the later parts of the 1950s.
Iwasawa est peut-être surtout connu pour avoir introduit ce qui est maintenant appelé la théorie d'Iwasawa, qui se développa à partir des recherches sur les corps cyclotomiques depuis les années 1950. |
| 7. | In mathematics, Stickelberger's theorem is a result of algebraic number theory, which gives some information about the Galois module structure of class groups of cyclotomic fields.
En mathématiques, le théorème de Stickelberger est un résultat de la théorie algébrique des nombres, qui donne certaines informations sur la structure du module de Galois des groupes de classes des corps cyclotomiques. |
| 8. | An odd prime number p is defined to be regular if it does not divide the class number of the p-th cyclotomic field Q(ζp), where ζp is a primitive p-th root of unity, it is listed on OEIS: A000927.
Un nombre premier impair p est dit régulier s'il ne divise pas le nombre de classes du corps cyclotomique ℚ(ζp), où ζp est une racine primitive p-ième de l'unité. |
| 9. | Conversely, every abelian extension of the rationals is such a subfield of a cyclotomic field – this is the content of a theorem of Kronecker, usually called the Kronecker–Weber theorem on the grounds that Weber completed the proof.
Réciproquement, chaque extension abélienne du corps des nombres rationnels est un sous-corps d'un corps cyclotomique — un théorème de Kronecker, habituellement appelé le théorème de Kronecker-Weber parce que Weber en a établi une démonstration. |
| 10. | The main conjecture of Iwasawa theory is a deep relationship between p-adic L-functions and ideal class groups of cyclotomic fields, proved by Iwasawa (1969) for primes satisfying the Kummer–Vandiver conjecture and proved for all primes by Mazur and Wiles (1984).
La conjecture principale de la théorie d'Iwasawa est une relation profonde entre fonction L p-adic (en) et les groupes des classes d'idéaux de l'extension cyclotomique, prouvée par Iwasawa pour les nombres premiers satisfaisant la conjecture de Vandiver et prouvée pour tous les nombres premiers par Mazur et Wiles en 1984. |
